題目：在一個邊長為a的正方形的四個邊角上各有一隻狗，四隻狗按著逆時針的方向追逐臨近的那隻狗。如果牠們同時出發，以同樣的速率前進，那麼在正方形的中央會合時，每隻狗各跑了多少距離？*
稍微想像一下，每隻狗走的路線，應該是一條向正方形中心逐漸收斂的線。
我們可以用極座標來表示和求解。
一開始的時候，假設狗離正方形中心的距離是r。如果狗朝著以r為半徑的圓跑，在追逐的某個短暫時間 dt(delta t)，狗偏離正方形中心點的角度為dθ(delta θ)，那狗跑的距離可用rdθ估計(一段dθ的弧長)。
然而，因為狗是瞄準下一隻狗在跑，在dt時，假設狗跑了ds (delta s)，狗在新的位置距正方形中心會更靠近一點點，譬如假設是dr(delta r)。
在追逐的某個短暫時間 dt(delta t)，狗離正方形中心的角度為dθ(delta θ)，狗跑的距離假設ds。可用rdθ估計(一段dθ的弧長)，而狗向下一隻走追逐dt時間到達的新位置，假設往正方形中心接近了dr(因為半徑變成更短的r-dr，所以極座標記成-dr，因為更近原點了。
這時可以觀察到，隨著dt 變得無限小，ds 可視為一個無限小等腰直角三角形的斜邊，它另外兩個邊分別為rdθ 和-dr 。
因為這個等腰直角三角形的兩個底角為𝝅/4(45度角)，所以：
Tan(𝝅/4)=-dr/rdθ=1
dr/r=-dθ
兩邊積分，得到
Lnr =-θ+C
或寫成指數函數
r(θ)=Ke^(-θ), 其中常數K=e^C
這就白努利(Bernoulli)兄弟率先研究的「對數螺旋」(logarithmic spiral)。
如果我們假設四隻狗的起始位置，在直角座標的軸線上，每隻狗相距a就是每兩隻狗與原點所形成直角三角形的斜邊，所以第一隻狗的起始位置就在(a/2^(1/2)，0），a/2^(1/2)就是牠和原點的距離。
r(θ=0)= a/2^(1/2)=K
把K用 a/2^(1/2)取代
r(θ)= a/(2^(1/2) )*e^(-θ) 這就是第一隻狗用極座標表示所跑的軌跡。
那這隻狗跑到原點，共跑多遠呢？概念就是從θ=0繞著原點到θ= ∞，把每段ds 累積起來就可以(積分)
由畢氏定理，狗在dt 時間內所跑的距離ds 是前述那個無限小直角等腰三角形的斜邊，腰邊是rdθ，那麼
ds=2^(1/2)* rdθ= 2^(1/2)* a/(2^(1/2) )e^(-θ)dθ =ae^(-θ) dθ
狗跑到原點的總距離 ∫ ds =a ∫ e^(-θ) dθ=a(-e^(-θ)) (θ由0到∞)=-a(0-1)=a
在狗於接近原點相會的時候，居然都正好走了a那麼長的距離，等於牠之間一開始的距離！
在直觀上，怎麼解釋這個奇妙的距離a呢？何苦互相追逐，下一隻狗等著前一隻狗走直線不就得了，確實。
如果我們在狗的頭上裝攝影機，如果狗一直保持對著下一隻狗，那麼影像中就會看到下一隻狗一直在影像的中間，追逐的狗彷佛是直直走了a這個距離而已，為什麼呢？因為下一隻狗的偏向的分向量，被後一隻狗不斷對準轉向的分向量「抵消」了！
前述的例子以每隻狗對準下一隻狗，固定夾角為𝝅/4(45度角)所以用Tan(𝝅/4)=1 代入。而如果夾角是另外一個值a，0<a<𝝅，a≠𝝅/2，那麼就是用Tan(a)代入
Tan(a)=-dr/rdθ
dr/r=-tan(a)dθ
兩邊積分，得到
Lnr =-tan(a)*θ+C , C為常數
或寫成指數函數
r(θ)=e^(-tan(a)*θ+C)= e^C *e^(-tan(a)*θ)
r(θ)隨著θ的增加而呈現指數性質的加速縮短，是一條向內捲的等角螺線，等角為a(每個瞬間向內的切角為a)。
a=0, tan(a)=0, 隨著a增加tan(a)在a= 𝝅/4之後呈現指數型態的迅速增加，在a= 𝝅/2附近接近無限大，可見更大的等角a，會使得r(θ)的收斂加速，這會使得螺線的形狀看起來比較瘦陡。而較小等角的螺線，則是慢慢向原點收斂，螺線會顯得比較平緩，繞圈也會比較密。
等角a在介於𝝅/2到𝝅之間，tan(a)由負的無限小增加到0，螺線就由幾乎無限大(無限遠的地方)向原點繞，但會停在e^C 這個長度上，不會經過原點。
很多生物的生長軌跡，譬如向日葵的花、鳳梨上面的旋，鸚鵡螺的殻等等，大致都是等角螺線，為什麼呢？因為它們的生長，都是循序漸進，而且呈現等角的發展的。它們不是數學家，而是等角螺線的性質，剛好可以用來描述它們經過進化淘汰賽考驗之後，最有效能的生命格式。
喜歡對數螺線(等角螺線)的美，就是歡喜生命優雅的節奏。
*：《學微積分，也學人生》，史蒂芬·史特格茲 著，蔡承志 譯
2022/7/1 對數螺線(等角螺線) Damakey
