e這個常數，在數學裏，叫做自然對數的底，為了紀念數學家尤拉，也叫尤拉數。
e的定義是：當n—>無限大時，(1+1/n)^n=e=2.71828182846….
e可以透過把(1+1/n)^n 做二項式展開而計算出來，n愈大(1+1/n)^n就愈逼近e。
(1+1/n)^n 做二項式展開(其中C(nm)代表n!/((n-m)!*m!))：
=C(n0)*1^n*(1/n)^0+C(n1)*1^(n-1)*(1/n)^1+C(n2)*1^(n-2)*(1/n)^2+C(n3)*1^(n-3)*(1/n)^3+…+C(nn)*1^0*(1/n)^n
=1*1+n*(1/n)+n!/((n-2)!*2!))*(1/n)^2+ n!/((n-3)!*3!))*(1/n)^3+…+1*(1/n)^n
=1+1+(n*(n-1))/(2!n^2)+(n*(n-1)*(n-2))/(3!*n^3)+…+(1/n)^n
(這個二項式展開，維基百科有比較容易閱讀的的表達方式)
當n—>無限大時，前式變成：
e=1+1+1/2+1/6+…= 2.71828182846…
以e為底的對數寫成Ln, 以有別於以10為底的Log
在雙曲線下，介於1和e之間的面積剛好為1。把雙曲線1/x從1到e做積分：∫1/x=ln|x| ；ln(e)-ln(1)=1
e也可以定義為階層倒數1/n!無窮級數的和：
e=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+…+1/n!
而其實，這就是(1+1/n)^n 二項式展開當n趨進無限大時的式子呢！
e有一個特點，是一個超越數，超越代數數的意思。
整係數的代數式a0X^n+a1X^n-1+…an-1X+anX(其中a0, a1,…,an是整數，n為自然數，且a≠0)的根，稱為代數數。e不是任何代數式的根，所稱之為超越代數數的超越數。
尤拉首先提出「超越數」的概念，但一直到100年後的1844年，才由法國數學家證明了超越數的存在。
尤拉最有名是結合了複數的概念(i=(-1)^1/2; -1開根號)提出了尤拉公式 e^i𝝅+1=0。1873年法國數學家厄爾米特借助尤拉公式，證明了𝝅也是超越數，不是任何整係數代數方程式的根。
在e的應用上，科學家用於計算火箭推力。
v=w*ln(z)，其中 v是速度；w是火箭發動機排氣速度；z是火箭起初質量和發動機的質量比。
只要三級火箭即可產生足夠的速度：3wLn(z)=3*3Ln3~10千米/秒>8 千米/秒的第一宇宙速度而到達運行軌道。
在銀行業裏，計算利息的公式是：
A=p(1+r/n)^nt
A:本利和；p:本金；r:年利率；n:一年內計算利息的次數；t=存錢年數
假設當期初存1元(p)，年利率100%(r)，那麼如果存1年(t)，套用e=(1+1/n)^n 這個公式，那麼一年的本利和(A)就是e元了。(e=2.7182818284590452353602)
當然，這個假設100%利息是為了產生e這個本利和的，用來認識e這個超越數。如果利率不等於100%，就得回到p(1+r/n)^nt這個複利公式去計算了。
e在運用上最廣人知的是指數函數 f(x)=e^x
由於f(x)的微分f’(x)和自身是相等的，可以寫成f(x)=f’(x)，縱使把指數函數放大k倍，成為ke^x，它各別的微分導數也是相同的。f(x)代表函數在x這個點上的高度，而f’(x)是x這個點上的斜率，兩者相同就是指數函數最大的特點了。
*：《數學公式的由來》，紀素雲 等
2022/8/26 神奇的超越數e Damakey
