一元三次方程式是一個彎折的連續曲線，考慮幾個簡單的形式，來觀察一下它在xy軸上長的樣子。
f1(x)=(x-1)*(x-2)*(x-3)=(x^2-3x+2)*(x-3)=x^3-6x^2+11x-6
f1(x)這個曲線在x=1, 2, 3 時 f1(x)=0，意思在這三個點會穿過x軸，這條曲線來自負無限大，在f1(0)=-6 時穿過y軸然後繼續往右上升，穿過x=1的x軸之後續升然後在某個點反折，在x=2往下穿過x軸之後續下，然後又反折向上在x=3的位置穿過x軸，續上，往正無限大的方向去。
f2(x)=(x-1)*(x-1)*(x-3)=(x^2-2x+1)*(x-3)=x^3-5x^2+7x-3
f2(x)這條曲線從負無限大過來，在f2(0)=-3 的位置穿過y軸，續升，在x=1的地方與x軸相切、相交(x比1小一點點或1大一點點，f2(x)都是負值，f2(1)=0，是x=1附近的最大值，可以想像成鍋蓋的頂點)，之後反轉往下，在某個點反轉往上，在x=3的地方穿過x軸，然後繼續往正無限大的方向去。
f3(x)=(x-1)*(x-1)*(x-1)= (x^2-2x+1)*(x-1)=x^3-3x^2+3x-1
f3(x)這條曲線從負無限大過來，在f3(0)=-1 的位置穿過y軸，續升在x=1穿過x軸往正無限大奔去而永不回頭。
f4(x)=(x+i)*(x-i)*(x-1)=(x^2-i^2)*(x-1)=(x^2+1)*(x-1)=x^3-x^2+x-1
f4(x)這條曲線從負無大上升過來，在f4(0)=-1 這個位置穿過y軸，然後在x=1的位置穿過x軸，續升往正無限大奔去。f4(x)特別的地方是只有一個實數根x=1，但有兩個虛數根 x=i 和 x=-i (i=(-1)^(1/2))。而它的線圖的樣子和f3(x)那種只有單一實數根的，並沒有太大的差別。
解一元三次方程式，就是找出那些通過x軸的點，滿足y=f(x)=0。
前面舉的簡單例子，是由根推展它們的方程式，只要用x相減然後累乘起來就可以了。但是，如果拿到的是任一個一元三次方程式，就沒有那麼簡單。
義大利文藝復興時期的學者卡爾丹諾(Girolamo Cardano, 1501-1576)，就成功解了一元三次方程式。
據說，其實卡爾丹諾並非第一位解出一元三次方程式的，而是同時代的尼柯洛·馮塔納(Niccolo Fontana)，但尼柯洛·馮塔納堅持不對外透露這個密秘。卡爾丹諾多次向尼柯洛·馮塔納討較，但尼柯洛·馮塔納只以謎語一般的暗示來搪塞卡爾丹諾，但是沒有想到卡爾丹諾居然就因此解開了一元三次方程式了。*
雖然非常可能不是卡爾丹諾的原創，但確實是卡爾丹諾首先發佈，所以後來大家就都稱那個解為「卡爾丹諾公式」。
卡爾丹諾首先考慮的是一個一元三次方程式的特別型：
X^3+pX=q，p, q >0
解題：
先假設解X=s^(1/3)-t^(1/3)，s, t 為任意數，代入上式
(s^(1/3)-t^(1/3))^3+p* (s^(1/3)-t(1/3))=q
s-3s^(2/3)t^(1/3)+3s^(1/3)t^(2/3)-t+ps^(1/3)-pt^(1/3)=q
(s-t)-3s^(1/3)t^(1/3)*(s^(1/3)-t^(1/3))=q-p(s^(1/3)-t^(1/3))
比較等式的左右，可得一組聯立方程式
s-t=q ; 3s^(1/3)t^(1/3)=p
s-t=q ; st=(p/3)^3
s=q+t, 代入第二式：
(q+t)*t=(p/3)^3
t^+qt-(p/3)^3=0
用一元二次方程式的求根公式，得
t=(-q±(q^2+4(p/3)^3)^(1/2))/2
= ± ((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2) -q/2
令t=((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2) -q/2
s=q+t=((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2) +q/2
X= s^(1/3)-t^(1/3)= (((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2) +q/2)^(1/3)-(((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2) -q/2)^(1/3)
這就是X^3+pX=q的一個實數解
如果令t=-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)-q/2 也可以得到相同的實數解
這個解法，最令人感到神奇的是，為什麼知道要假設一元三次方程式的實數解是兩個任意數的三次方根的差呢？
X=s^(1/3)-t^(1/3)，s, t 為任意數
根本來就是未知數，卡爾丹諾怎麼會知道它的形式呢？(或者說這是尼柯洛·馮塔納(Niccolo Fontana)給他的暗示，那一樣的問題，為什麼尼柯洛·馮塔納會知道？) 或許這就是偉大數學家和其他一般人不同的地方，總是在福至心靈的時刻有驚天動地的創意。
如何將卡爾丹諾的解法運用到所有的一元三次方程式呢？
X^3+aX^2+bX+c=0 (一元三次方程式的普遍型式)
令 X=w-a/3，代入上式
(w-a/3)^3+a(w-a/3)^2+b(w-a/3)+c=0
w^3-3w^2*(a/3)+3w(a/3)^2-(a/3)^3+aw^2-2/3*a^2w+a^3/9+bw-ab/3+c=0
w^3+(a^2/3-2*a^2/3+b)*w-(a^3/27-a^3/9+ab/3-c)=0
w^3+(b-a^2/3)w=ab/3-2a^3/27-c
令p= b-a^2/3 q= ab/3-2a^3/27-c
w^3+pw=q 這就是卡爾丹諾當時解的一元三次方程式的原型了。
而在這個轉換，是令X=w-a/3，這就比較容易理解。由於在卡爾丹諾的一元三次方程式中沒有平方項，在代入的二項式展開式中，三次方展開中的平方項要跟二次方展開的平方項相消，就得把X設成w-a/3才辦得到。在線圖上看，這等於把一元三次方程式做一個水平距離為a/3的移動而已，並未改變曲線的性質。
我不知道解一元三次方程式有什麼用，但從該方程式在xy軸上所顯現的線圖，求解一元三次方程式，就是尋找它和x軸相交的地方。它令人著迷的地方在於，縱使有虛數根(有i : (-1)^(1/2))，在x軸上面找不到相應的位置，也不妨礙那條曲線的存在。
一元三次方程式的解看起來有點複雜，而它也只解了一條非常簡單的線圖和x軸的交點而已。而這個世界，遠遠比那個方程式複雜得太多了。人生的解，有人選擇不斷努力去尋找，因為他們認為終究有解；有人則選擇把問題放下，因為他們認為無解。
王國維在《人間詞話》中把做學問做大事用詞的意境，分成三種：「昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路」；「衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴」；「眾裏尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處」。他劇透的，也是人生解題的過程。
和一元三次方程式再次的喜相逢，我揣摩著它在我人生中可能的位置，和瑣瑣碎碎的日常一樣。
其實，我還是比較喜歡蔣捷的《聽雨》。一意任性下去，聽人生的雨，有我，有你。
*《數學史話》，陳長城 編著
P.S. 《虞美人 聽雨》 宋•蔣捷
少年聽雨歌樓上，紅燭昏羅帳。
壯年聽雨客舟中，江闊雲低，斷雁叫西風。
而今聽雨僧廬下，鬢已星星也。悲歡離合總無情，一任階前點滴到天明。
2022/9/1 聽雨 Damakey
