畢達哥拉斯(西元前570年–西元前495年) ，是古希臘的哲學家、數學家和音樂家。
據說有一次畢達哥拉斯經過打鐵店的門口，聽到不同重量的鐵錘打在鐵上，發出了悅耳的聲音，就回家用琴弦研究到底怎麼樣的聲音搭配最和諧(好聽)。因為那個時代對聲音的頻率無法掌握，畢達哥拉斯就調整琴弦的長度，然後他發現了好聲音的規律。
畢氏的琴弦律*
- 兩音之和諧悅耳跟其兩弦長成簡單整數比有關。
- 兩音弦長之比為4:3，3:2，及2:1時，是和諧的，並且音程分別為四度、五度及八度。
頻率f和弦長l成反比(這是伽利略發現的)，所以如果以現代的觀念(頻率愈高，音愈高)來看畢氏的琴弦律，那麼兩個音頻率的比如果是整數比，譬如2:1，3:2及4:3時，兩個音最和諧，而且分別相差八度，五度及四度音。
那怎麼定出跨越在1和2之間，這八度音的另外六個音階呢？
畢達哥拉斯用「五度音循環法」，由1開始，不斷升高五度(乘3/2, 連續 5次)，再升八度或降八度(乘以2或除以2)
1，(3/2)，(3/2)^2，(3/2)^3，(3/2)^4，(3/2)^5
也就是
1，3/2，9/4，27/8，81/16，243/32
把 9/4 ，27/8 各降八度，把81/16，243/32 各降十六度，都拉回八音度內(即介於1和2)：
1，3/2，9/8，27/16，81/64，243/128，2
依大小排序如下
1，9/8，81/64，？，3/2，27/16，243/128，2
中間缺一個第四音，由1降五度音(乘以2/3)，再升八度(乘以2)，得到4/3
最後得到的，就是「畢氏音階」：
1，9/8，81/64，4/3，3/2，27/16，243/128，2
畢氏音階，也可以採取中國古代管子的「三分損益法」求得。
『……就是交互使用「三分損一法」(去掉三分之一長)及「三分益一法」(即將所剩再增加三分之一長)。改用頻率的說法即為：由一個音出發，不妨取其為1，「三分損一法」就是乘以3/2(即升高五度音程)，「三分益一法」就是乘以3/4(即降四度音程)，如此交互相生』*：
1，3/2(=1*3/2)，9/8(=3/2*3/4)，27/16(=9/8*3/2)，81/64(=27/16*3/4)，2
依大小排列，就得到「五聲音階」：
1，9/8，81/64，3/2，27/16，2 而這就是宮、商、角、徵、羽、宮了。
再加上81/64*3/2=243/128 (變宮)及 4/3(變徵)，「五聲音階」就變成「畢氏音階」(七音聲階)了。
依照畢氏的琴弦律，兩個音的頻率愈呈現簡單整數比，聲音愈諧調。但是在「畢氏音階」中的mi/do 81/64=1.265就比整數倍的5/4=1.25高，聲音會稍顯尖鋭；fa/re (4/3)/(9/8)=1.185 又比整數倍的5/4=1.25低，聲音會稍顯低沈。另外，畢氏音階在考慮半音音階也會有問題。
為了解決「畢氏音階」的問題，托勒密把畢氏音階的81/64、27/16、243/128修改為5/4、5/3、15/8，音階變成了所謂的「純律音階」：
1，9/8，5/4，4/3，3/2，5/3，15/8，2
但是「純律音階」並未解決聲音不諧調的問題，半音音程也有問題，因此有了所謂的「十二平均律」，把1到2之間的音程，用2^(1/12)的倍數切成12段：
音名 十二平均律 自然音程
———- ——————————- ————-
C do 1.0000 1.0000
do# 2^(1/12)=1.05959 略
D re (2^(1/12))^2=1.1225 略
re# (2^(1/12))^3=1.1892 1.2000
E mi (2^(1/12))^4=1.2599 1.2500
F fa (2^(1/12))^5=1.3348 1.3333
fa# (2^(1/12))^6=1.41142 略
G so (2^(1/12))^7=1.4983 1.5000
so# (2^(1/12))^8=1.5874 1.6000
A la (2^(1/12))^9=1.6818 1.6667
la# (2^(1/12))^10=1.7818 略
B si (2^(1/12))^11=1.8877 略
C’ do’ (2^(1/12))^12=2.0000 2.0000
「十二平均律」的優點是轉調容易(這對琴鍵攤在一個平面上的鋼琴很重要)，但是比較起自然音程，還是有音不夠準、和弦效果不完美等等的缺點。
目前的國際標準(ISO)，是把A la的頻率定為440Hz，其它音的頻率就依比例決定了。然而在這個標準之前(約二戰之前)，A la的頻率可是432Hz的。
琴弦在震動的時候，有一個基本的頻率，產生的聲音叫基音。除了基音，還會有一系列的泛音震動，理論上有無限多組，但只有最主要的泛音影響較大。基音和泛音交互綜合起來就是我們聽到的聲音。以自然音程的1(C do)為例，它最強的泛音就是發生在二倍音程的2(C’ do’)，把音程定在1和2，同時彈起來就會顯得很和諧。這也就是「畢氏的琴弦律」中所主張的，「兩音之和諧悅耳跟其兩弦長成簡單整數比有關」，1:2 是簡單整數比。
雖然可以用數字把「十二平均律」的每一個音程算出來，但那也只是自然音程的近似值而已，是音樂藝術不得不的一種妥協。還好一般人的耳朵沒有那麼敏銳，而音樂透過各種播放器重現出來時會產生誤差，加上閲聽環境的干擾，「十二平均律」的小小妥協，就變得可以接受了。
琴弦振動產生聲音，在《數學拾穗》這本書中，也進一步推導出了琴弦振動函數y=y(t,x)是由許多單頻振動所組成的:
yn(t,x)=Cn*cos(n𝝅α/l *t)*sin(n𝝅/l *x)
(t為時間，x為弦上在橫軸上的某點，yn(t,x) 為在縱軸上的位移，n為自然數，Cn是傅立葉係數，l為弦的長度 ，T為弦的張力，ρ為弦的密度，α=(T/ ρ)^(1/2))
我們稱yn(t,x)是具有頻率fn=na/2l=n/2l*(T/ρ)^(1/2) 的一個駐波
(頻率和弦的張力成正比，和弦的長度、密度成反比，這和直觀的經驗是一致的)
n=1 的時候，f1=1/2l*(T/ρ)^(1/2) 叫做基音
f2=2f1, f3=3f1, f4=4f1,… 這些就是基音頻率整數倍的泛音，又回到了畢氏的琴弦律，「兩音之和諧悅耳跟其兩弦長成簡單整數比有關」了！
*：《數學拾穗》，蔡聰明 著
**：「凡將起五音， 先主一而之，四開以合九九，以是生黃鐘小素之首以成宮，三分而益之，為百有八，為徵；不無三分而去其乘，適足以是生商；有三分而復于其所，以是生羽；有三分而去其乘，以是生角。」《管子.地員篇》
2022/5/29 數學拾穗 Damakey
