『……自柏拉圖之後，所有哲學家莫不致力於健全知識基礎(foundation)，進一步向上建構(construction)思想體系的大廈。』* 作者柄谷行人認為，把哲學家建構思想大廈隱喻為「建築」，就是始於柏拉圖。
而在建構知識的領域，結構顯得特別嚴謹的就是數學。
『……雖然柏拉圖與歐幾里德試圖將數學建構為公理的「建築」，但幾何學家們從一開始就懷疑「第五公理」(關於平行線)的妥當性。而且，試圖從其他公理導出第五公理的種種努力，事實證明都是徒然。結果——簡單來說——幾何學家們以「平行線會相交」做為公理，建立了非歐幾何學。從那時候以來，人們對數學「公理建築性」的信任感，從根本產生了動搖。……』*
在20世紀初，數學的危機不是來自非歐幾何學，而是來自於集合論。
從笛卡兒開始，幾何學的一段線上面無限個稠密的點，已被視為座標上無限個的實數(real numbers)。康托爾創立集合論，就是為了解決這個「無限」的問題。
康托爾的集合論，並不把「無限」當作「沒有極限」，而是把它當作是一個數，那麼就產生了集合論的悖論：「給定任何一個集合S，我們都可以得到比集合S更多元素的集合S‘」。那麼，集合S就不是「無限」了。
『羅素(Bertrand Russell, 1872-1970)以比較簡單的方式，重新陳述這個悖論。他引用了埃庇米尼得斯(Epimenides)著名的「克里特悖論」——「一個克里特島人說：所有克里特島人都是騙子」』*
如果這句話是真的，那麼說話的人是克里特島人也就是一個騙子，那麼一個騙子說出來的這句話的就是假的。既是真又是假，這就是悖論
如果這句話是假的，代表並非所有克里特島人都是騙子，這跟他說所有克里特島人都是騙子，是互相矛盾的，這也是悖論。
為了這個問題，希爾伯特提出了一個解決的方法，『他將公理體系，和證明公理體系的無矛盾性的邏輯區分開來。他稱呼後者為「超數學」(meta-mathematics, 又譯為「元數學」)。因為用來證明公理體系的無矛盾性的「超數學」本身不能有矛盾，所有希爾伯特以有限的、組成的方式設計他的「超數學」，甚至讓直觀主義者也能滿意。…..』*
可是接下來，哥德爾的不完備定理(incompleteness theory)給希爾伯特的「超數學」致命的打擊。
『不完備定理的概要大致如下：透過自然數理論形式化得到的公理體系，只要它不包含矛盾，就無法在該形式體系內證明或否定它。換句話說，「不確定」的邏輯式子始終存在。……』*
所以，數學的基礎，在不完備定理下，於邏輯的層級崩塌了。作者柄谷行人認為，這是將數學由「確定性」的重擔解放了下來，『那些追求「建築性」的學問假裝以數學作為典範，其實只是在掩飾自己缺乏基礎。乍看之下，數學似乎是重言式的(tautological)、堅固的建築，但事實上並非如此。正因為數學不是堅固的建築，才能以多重的樣貌發展至今，數學是歷史性的。』*
看來要怪就怪始作甬者的柏拉圖，把哲學的建構，用「建築」來隱喻了。
*：《作為隱喻的建築》，柄谷行人 著，林暉鈞 譯
2020/11/29 作為隱喻的建築 Damakey
