雖然以前大學唸的是理工科系，但是現在拿起《數學女孩》這本書，還不免抗拒。翻了一下，發現其實以前還真的不曾好好學過數學，而匆匆一瞥，無知依然故我。
其中，有關於溫度冷卻和放射線殘量的時間函數，覺得頗為直觀有趣，就記了下來跟大家分享。
問題〈牛頓冷卻定律〉
在室溫為U的房間內放置一物體，設時間為t時，物體溫度為u(t)。已知時間t=0時，溫度ut>U；時間t=1時，溫度為u1。
試求函數u(t)，其中，假設溫度變化速度與溫差成正比(牛頓冷卻定律)
解題：
u’(t)：代表物體的「溫度變化速度」；u(t)-U 代表物體與室溫的「溫差」
依據(牛頓冷卻定律)，假設溫度變化速度與溫差成正比，則可寫成：
u’(t)=K(u(t)-U），K 為(正比)常數
進一步改寫成
(u(t)-U)’= K(u(t)-U）
[這是熟悉的 f’(t)=f(t) 的形式，符合這個等式的函數為f(t) =C*e^t；而f’(t)=Kf(t) 的f(t) 則為C*e^Kt]
f(t)= u(t)-U=C*e^Kt
[兩邊微分驗算一下：f’(t)=(u(t)-U)’=(C*e^Kt)’=KCe^Kt=K(u(t)-U)=Kf(t)，對喔！］
所以溫度函數u(t)=C*e^Kt+U
在t=0時，物體溫度為u0
在t=1時，物體溫度為u1
代入u(t) 函數，可得：
u0=C+U
u1=Ce^K +U
第一式移項得C=u0-U代入第二式
u1=(u0-U)e^K+U
移項得
e^K=(u1-U)/(u0-U）
代回到u(t)=Ce^Kt+U
=(u0-U)(e^K)^t+U
= (u0-U)((u1-U/(u0-U))^t+U
u(t)=(u0-U)((u1-U/(u0-U))^t+U 就是牛頓冷卻定律，當知道時間為0和1的溫度為u0及u1時，代表依時間t而變化的溫度函數。
很巧的是，這個函數也可以來描述放射性物質的衰變。
問題〈放射性物質的衰變〉
設時間為t時，放射性物質殘量為r(t)，已知時間t=0時，殘量為r0；時間t=1時，殘量為r1，試求函數r(t)，其中，假設放射性物質的衰變速度與殘量成正比。
解題：
以r(t)代表放射性物質的殘量，那麼r’(t)就可以表示放射性物質的衰變速度。
放射性物質的衰變速度與殘量成正比，可以寫成
r’(t)=Kr(t)
這公式和牛頓冷卻定律類似。
牛頓冷卻定律溫度函數u(t)=(u0-U)((u1-U/(u0-U))^t+U，如果設定U=0，則可得：
u(t)=u0(u1/u0)^t
這就跟放射性物質的殘量函數的形式一樣！
r(t)=r0(r1/r0)^t
太神奇了。
放射性物質的殘量有所謂的半衰期，沒有想到溫度的冷卻也有類似的性質，這是數學告訴我們的。
指數函數還算比較直觀，到了書中關於微積分尤其三角函數的轉換，就覺得都還給老師了，那就更不用說拉普拉斯轉換、傅立葉展開，以陌生的非歐式幾何學了。
回顧在過去的工作中，除了碰到一些機率統計抽樣的實務之外，連圓周率都沒有用過呢！更遑論其他。
最常用的是加減乘除。設定業績目標，拼命用乘法和加法。刪減預算、人力、成本，拼命用減法。老闆覺得要好好考核你，就用除法來驗算各種比率所代表的效率。唉…..一個「正常」的上班族，要懂的只是加減乘除的四則算術，而不是學校裏面教的深奧難懂的數學。除了為了升學，還真不懂為什麼那個時候要學那麼多呢！
數學至今教會我的，就是縱使對這個世界總是有那麼多的不懂，也不見得有太大的關係。尤其，現在Google一下，什麼都有了。
這個世界最重要的，是我們在網路上Google不到的那一個部分。
*：《數學女孩》，結城浩 著，陳联疆 譯
2021/11/19 數學女孩 Damakey
