在《為什麼公車一次來3班》這本書內，提到「買條魚都要排隊」，當然來的顧客數多過服務的人手，當然就得等。在特定時間內會有x位顧客出現的機率，就符合卜瓦松分布(Poisson distribution)，這讓我想起在服務業工作，令人頭痛的服務水準問題。
先複習一下卜瓦松分布 (Poisson dustrituion)， 其實它是二項式分佈(binomial distraction)的一個特例。
問題：假設在極短的時間內Δt，客戶出現的機率p和Δt成正比，p= αΔt，那麼在時間t內會有x位客戶出現的機率為何？
我可以把t切成n段，t=n*Δt，n是一個極大的數，所以前述的問題，就變成我們在時間t內做n次實驗(觀察)，那麼出現x次成功(顧客出現)的機率為何？
令λ= αt=nαΔt=np，這是一個二項式分佈*：
b(x; n, p)
= [n!/(x!*(n-x)!)]*[p^x*(1-p)^(n-x)]
= [n*(n-1)*(n-2)*…(n-x+1)]/x!*[(λ/n)^x*(1-λ/n)^(n-x)]
=[1*(1-1/n)*(1-2/n)*…(1-(x-1)/n)]/x!* (λ^x)*[(1-λ/n)^(-n/λ)]^(-λ)* (1-λ/n)^(-x)
當t保持不變(亦即λ 不變) n—> ∞ (αΔ —> 0) 時
[1*(1-1/n)*(1-2/n)*…(1-(x-1)/n)] 趨近於 1
[(1-λ/n)^(-n/λ)] 趨近於 e
(1-λ/n)^(-x) 趨近於 1
b(x; n, p)
= λ^x *e^(-λ)/x!
這就卜瓦松分佈的機率函數，可寫成p(x;λ)= λ^x *e^(-λ)/x!
λ= αt=nαΔt=np，就是在時間t內預期會出現的顧客數。
例子：如果平均每分鐘出現一位顧客，那麼在某特定的1分鐘內，出現4位顧客的機率是多少？p(4;1)=1^1*e^(-1)/4!=1/2.71*4*3*2*1~1/50=2% 機率是蠻低的，這也合乎我們的直覺，既然平均每分鐘才有1位顧客，那麼1分鐘內會有4位顧客光臨的機率當然低了。
那麼出現2位顧客的機率呢？p(2;1)= 1^1*e^(-1)/2!~18% 意思是說如果接待的櫃台只配置1位服務人員，那麼在第1分鐘會讓1位顧客等候的機率是18%。公司要配備多少人力，就視對顧客重視的程度為何了。
其實對服務業，可以選擇的並不多，只能選擇等顧客，或者讓顧客等。
Poisson 分佈，是服務中心在估算人力時，對顧客數出現的機率，最根本的根據。
實務上有所謂的Erlang C的模式，只要輸入平均單位時間的顧客數、平均每位顧客的服務時間、人員配置，就可以計算出顧客平均的等候時間。
看起來很科學，其實不然。Poisson 告訴我們的只是機率，但是機率低並不代表它不會發生。所以，像Erlang C的模式，只能是一個參考。如果要提供更迅速的服務，在那個基準之上，就必須多配置一些人力。有時候就難免顯得浪費，但是那就是讓服務人員等待顧客而不是顧客等待服務人員的選擇。在規劃的時候做得太「精準」，看來很有效率，其實那是表象，因為依照Poisson 分佈，意外就是會發生，就得讓顧客等了。而且在意外發生時，服務時間也可能拉長，那就是雪上加霜了。
與其說There is always no free lunch. 不如說Free lunch is always very expensive. 在顧客的服務上就是如此，完全取巧不得。只是，上頭的老闆往往都不這麼想。下面的員工就辛苦了。
*：Poisson 分佈，曹吉亮
**：《為什麼公車一次來3班》，羅勃·伊斯威 傑瑞米·溫徳漢 著，蔡承志 印
2022/1/20 Poisson 分佈 Damakey
