『……花朶最常出現五花瓣，毛茛(buttercup)、錦葵(mallow)、三色堇(pansy)、報春花(primrose)、杜鵑(rhododendron)、番茄花(tomato blossom)、天竺葵(geranium)…..等等，都是五花瓣家族的一員，這些只是少數例子，還有許許多多的花種都選定5片花瓣。就算是表面上具有10瓣的花朶，也可以再加細分為兩組5瓣，好比紅繩子草(red campion)。』*
如果把蘋果橫切開來，也可以觀察到種子也是5顆繞著中心排列的，為什麼植物會大量出現這種奇數5的形式呢？
『已經有人研究過各式各樣的花朶，辛苦計算其數量。結果顯示花瓣的常見數量為8、13、21、34和55，而且出現的頻率超過相鄰的數量。具有8瓣的花朶比7瓣花或9瓣的花朵更為普遍。』*
《為什麼公車一次來3班》這本書的作者羅勃·伊斯威和傑瑞米·溫徳漢，將上面植物花瓣的數量，和「費波那契數列」關聯在一起，很有意思。
費波那契數列，最起初是為了描述兔子在繁殖幾代之後的總數，是累加的概念。數字從兩個1開始(繁殖)，從第2代開始，數值由前兩代加總而來：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…..
前面作者提到過，有相當多植物的花瓣的數量是5，8，13，21，34，55，奇了，居然都是費波那契數列上的數字呢！
另外作者也提到鳯梨上的順/逆螺旋數通常是8和13，松果是13和21，向日葵花上的順/逆螺旋數，分別小朶花為34/55，大朶花為55/89。8、13，21、34、55、89，也都是費波那契數列上面的數字！
難道，大自然是一位數學家？好厲害的演算法！
以花瓣的5角型為例，相臨花瓣尖之間的距離如果是1，那相隔一個花瓣的花瓣尖之間的距離就是1.618。這個數字和「黃金分割」(golden ratio)的比例是一樣的。
黃金分割比例Φ的定義，就是一個特別長方型的比例，長邊與短邊的比例Φ，等於短邊和(長邊和短邊的差)的比例。譬如短邊是W，寫成公式就是：
ΦW：W = W：ΦW-W
Φ^2-Φ-1=0, Φ=1.618…
如果把費波那契數列的後一位數除以前一位數，
1，1.5，1.67，1.6，1.63，1.61，1.619，1.618，1.618，…..
那個數字也會愈來愈趨近黃金分割的比例 1.618。太神奇了。
而在人體也隱藏著黃金比例，身高除以肚臍以下的高度也是1.618，手臂和前臂，腿長和小腿，臉、牙齒、朶身的長寬，都是接近黃金比例！
作者羅勃·伊斯威和傑瑞米·溫徳漢，根據對植物葉子生長的觀察，提出了一個「最適光照角度」的理論來解釋為什麼植物的花瓣偏好5瓣。
『…..你觀察許多種植物，都可以注意到葉片是分別從莖梗長出來。所有葉片通常都是採不同角度抽芽，順著莖梗往上看，葉片便呈螺旋狀排列。每片葉子都是沿著莖梗轉開偏離前一片，其夾角通常是界於137度到139度之間。……360度除以Φ約等於222.5度。而順時鐘的222.5度就相當於逆時鐘的137.5度，這就是一再出現於植物界的角度。』。
如第1片嫩芽長在6點鐘方向，第2片逆時針137.5度約當長在10點鐘方向，第3片繼續再逆時針137.5度約當3點多鐘方向，第4片繼續再逆時針137.5度約當8點鐘方向，第5片繼續再逆時針137.5度約當12點多鐘方向，第6片如繼續再逆時針137.5度約當5點鐘方向就會太接近在6點鐘方向的第1片了，這樣不太有效果，所以「最適光照角度」推導出植物只長5瓣而非6瓣。(雖然花瓣並非行光合作用，但是或許就吸引昆蟲採蜜而言，對很多植物5個花瓣已經是最有效果的，再長出一片是冗餘)
以演化論來看，目前植物的樣態應該都是截至當下為止是最有效能的，這是無庸置疑的，那麼至少證明有不少符合費波那契數列數列的樣態是有效能的。
然而，雖然作者的理論很有趣，但是在能證明生命的因果關係之前，這些都是巧合而已，頂多只能說是相關而已(correlated)。畢竟，在這個世界上，還有更多的長度比例不是黃金分割的比例呢！
我量了一下我的iPhone, 長寛比接近2:1，也不是黃金比例。呃…… 顯然我們因為Steve Jobs 才知道我們需要的size是什麼，而不是依黃金分割比例的1.618:1 來照本宣科。
**：《為什麼公車一次來3班》，羅勃·伊斯威 傑瑞米·溫徳漢 著，蔡承志 印
2022/1/20 大自然是數學家嗎？ Damakey
