朱塞佩·皮亞諾(Giuseppe Peano，1858-1932)是義大利的數學家。他特別的貢獻，是刻意區別了命題演算和類演算，並認為命題演算更為基本。他在1889年提出自然數的五條公理，皮亞諾公理，建立了自然數的理論，標志著當時數學分析算術化的終結。(維基百科)
皮亞諾公理*
PA1 1是自然數。
PA2 每一個確定自然數n，會有一個確定後繼數n’ 也是自然數。
PA3 對任何自然數n，n’≠ 1 會成立，即1不是任何自然數的後繼數。
PA4 就後繼數而言，對任何自然數m，n，若m’=n’，則m=n。
PA5 就一個關於自然數的命題P(n)，倘若以下(a)與(b)兩個條件成立。
(a) P(1)成立。
(b) 對任何自然數k，若當P(k)成立，則P(k’)也成立。
則對任何自然數n，P(n)都會成立。
前述的皮亞諾PA5公理，也稱為數學歸納法。
應用：
試證明任何自然數n下面數式會成立。
1+3+5+…+(2n-1)=n^2
運用皮亞諾公理PA5(數學歸納法)
P(1)=1=1^2=1。成立。
P(k)=1+3+5+…+(2k-1)=k^2
P(k’)=P(k+1)= 1+3+5+…+(2(k+1)-1)
= 1+3+5+…+(2k+1)
= 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)
= k^2+2k+1
=(k+1)^2
P(k’)=P(k+1)= (k+1)^2 亦成立
所以，對任何自然數n，P(n)=n^2 都會成立。
Q.E.D. (Quod Erat Demonstrardum)**
後來數學界有一個雄心勃勃的「希伯特計劃」，其中關於自然數方面，就是希望能夠建立一個內部沒有相互矛盾性的系統(具有相容性)，從公理出發一步步可以證明自然數的所有相關的命題(具完備性)。
但是很不幸的，依照「哥德爾第一不完備定理」，有些自然數相關的命題是真的，卻無法(從皮亞諾公理所逐步建立的系統)得到證明，所以該公理系統是「不完備」的。而「哥德爾的第二不完備定理」是關於「相容性」的，意思是一個強度足以證明自身相容性的自然數公理系統，那麼它就會是不相容的！
古德斯坦定理(Goodstein’s theorem)的證明，就是一個「哥德爾第一不完備定理」諸多例子之一。皮亞諾公理不足以用來證明古德斯坦定理，必須加上其他技巧才辦得到(詳見維基百科)。
奇數數列的和，1+3+5+…+(2n-1)=n^2，是一個關於自然數的命題，則是可以被輕鬆容易運用皮亞諾公理證明(為真)的。真好！
*：《數學女孩 哥德爾不完備定理》，結城浩 著，鍾霓 譯
**：Q.E.D. 是拉丁片語「Quod Erat Demonstrandum」(證明完畢)的縮寫，譯自希臘語「ὅπερ ἔδει δεῖξαι(hóper édei deîxai)」，並經常被惡搞為「quite easily done」(維基百科)
P.S. 「0 」是不是自然數呢？沒有想到那麼簡單的問題，在網路上還曾引起很熱烈的討論呢！
2022/9/3 數學女孩 哥德爾不完備定理 Damakey
