複習一下不定積分，不重新看一下，還真的連最基本的運算都還給老師了呢！
和的積分等於積分的和。
∫(a*f(x)+b*g(x))dx=a*∫f(x)dx+b*∫g(x)dx
兩個函數乘積的積分，則不等於兩個函數積分的乘積，要通過轉換才可能算出來。這比較不直接。
譬如，怎麼計算∫xe^xdx 這個積分式呢？
一時是令人想不出來，到底是哪一個函數的微分是xe^x。
先考慮兩個函數 f(x) 和 g(x) 相乘之後的微分：
(f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)
兩邊都取積分
∫((f(x)g(x))’= ∫f’(x)g(x)+ ∫f(x)g’(x)
f(x)g(x)+C= ∫f’(x)g(x)+ ∫f(x)g’(x) 移項一下
∫f’(x)g(x)= f(x)g(x)- ∫f(x)g’(x)+C
令 f(x)=e^x; g(x)=x
∫x(e^x)’dx=xe^x-∫(x)’e^xdx+C
∫xe^xdx= xe^x-∫e^xdx+C
∫xe^xdx= xe^x-e^x+C
這裏用到了指數函數e^x微分之後還是e^x這個性質。
練習題
求解： ∫(2x+3x^2+4x^3)dx
=x^2+x^3+x^4+C
求解： ∫(x^2+e^x)
=(1/3)x^3+e^x+C
求解： ∫(n+1)!x^ndx
=n!x^(n+1)+C
求解： ∫(12x^2+34e^x+56sinx)dx
=4x^3+34e^x-56cosx+C
求解：∫xcosxdx
∫(xsinx)’= ∫x(sinx)’dx+∫sinxdx+C
xsinx= ∫xcosxdx-cosx+C
∫xcosxdx=xsinx+cosx+C
求解：∫(x^2+x+1)e^xdx
= ∫x^2e^xdx+ ∫xe^xdx+∫e^xdx+C
其中∫(x^2e^x)’dx= ∫x^2e^xdx+2∫xe^x+C 移項代入上式
=x^2e^x-2∫xe^x +∫xe^xdx+∫e^xdx+C
= x^2e^x-∫xe^xdx+ e^x+C
∫(xe^x)’dx= ∫xe^xdx+∫e^x+C= ∫xe^xdx+e^x+C 移項代入上式
=x^2e^x-xe^x+2e^x+C
=(x^2-x+2)e^x+C
求解：∫ (1/0!x^0+1/1!x^1+1/2!x^2+…+1/n!x^n+…)dx
=1/1!x+1/2!x2+…+1/(n+1!)x^(n+1)+…
= (1/0!x^0+1/1!x^1+1/2!x^2+…+1/n!x^n+…))-(1/0!x^0)
而其實1/0!x^0+1/1!x^1+1/2!x^2+…+1/n!x^n+…)=e^x
所以上式的積分就是∫e^x=e^x+C了
積分在幾何上面的意義，簡單講就是計算函數下的面積。而在極座標上，用來計算錐體和球體的的面積、體積，也都很方便。
錐體(側)面積
假設圓錐高度為h，底部的半徑為R，在高為x的地方橫切出一塊小圓，厚度dx，那麼那個小圓的半徑則為R*(h-x)/h，那個小圓的外側面積為2π(R*(h-x)/h)dx，所以錐體的側面就從x=0 到h 做一個以下的積分：
∫2π(R*(h-x)/h)dx =2π(R/h)*(hx-1/2x^2)= πRh
錐體體積
假設圓錐高度為h，底部的半徑為R，在高為x的地方橫切出一塊小圓，厚度dx，那麼那個小圓的半徑則為R*(h-x)/h，那個小圓的外側面積為π(R*(h-x)/h)^2dx，所以錐體的側面就從x=0 到h 做一個以下的積分：
∫π(R*(h-x)/h)^2dx= π(R/h)^2∫(h^2-2hx+x^2)= (1/3)πR^2*h
這代表把圓周從高度x=0開始，一直往上堆疊，直到x達到錐體總高度 h為止，底面半徑為R，高為h的圓椎體斜面的總表面積。
球體表面積
至於球體的表面積，想像一個半徑為R的球體，從中間切成上下兩半，先算上半部。假設把上半部的球體橫切無數片，其中一片的平面半徑為r，從球心到這個半徑為r的圓周上的那條線和平面的角度為θ，那麼r就是Rcosθ，而在半徑為r的那個小環的厚度是Rdθ，那一小圈的面積就是2πr*Rdθ，算球上半邊的表面積就是把2πr*Rdθ，由θ=0積分到θ=π/2
∫2πr*Rdθ= 2πr*R^2∫cosθ= 2πr*R^2(sin(π/2)-sin(0))= 2πr*R^2 ，這只是半個球
所以，球體的表面積是4πr*R^2。
球體體積
在計算球體體積，也是把球體橫切成細薄片，然後累積起來。唯一要注意的是細薄片的高度和球面上的弧距Rdθ要乘上cosθ來計算其高度。
∫π(R*cosθ)^2*Rdθcosθ
=πR^3∫cosθ^3dθ
= πR^3*(sinθ-(sinθ ^3)/3) ｜其中θ =0 到π/2
= πR^3*（1-0)-(1-0)/3
=(2/3)πR^3 這只是半球的體積
故半徑為R的圓球體積為(4/3)πR^3
P.S. 餘弦三次方用置換法做積分：
∫cosθ^3dθ=∫(1-sinθ^2}* cosθdθ)
令u=sinθ du= cosθdθ
∫(1-sinθ^2)cosθdθ)=∫(1-u^2)du=u-(1/3)*u^3+C 把u=sinθ 代回去
∫cosθ^3dθ= sinθ-(1/3) sinθ^3 (θ 由0 積分到π/2)
=(1-0)-(1/3)*(1-0)^3=2/3
(不查資料，還真的完全忘記怎麼做了呢！)
這些都算是微積分相對比較直觀的運用，在計算物體的面積和體積，用積分就是疊加起來的概念，其實也沒有想像中的那麼難懂。只是如果牽涉到三角函數的積分，那就需要一點技巧。還給老師的，現在找回了一些。
*：《數學女孩 積分篇》，結城浩 著，衞宮紘 譯
2022/9/6 數學女孩 積分篇 Damakey
